Notons la taille de la coquille du crabe à chaque étape de la croissance comme suit:
S1 =1 cm (taille initiale)
S2 =S1 + 1/3 S1 =4/3 cm
S3 =S2 + 1/3 S2 =7/3 cm
S4 =S3 + 1/3 S3 =10/3 cm
...
Nous pouvons observer un modèle ici. La taille de la coque à chaque étape est obtenue en ajoutant 1/3 de la taille de l'étape précédente.
En général, la taille de la coquille à la nthme étape peut être exprimée comme suit:
Sn =S1 + (1/3) S1 + (1/3) ^ 2S1 + ... + (1/3) ^ (n-1) S1
Pour déterminer le nombre de coquilles de crabe (à l'exclusion de la coquille initiale), nous devons trouver la valeur de n pour laquelle Sn ≥ 10 cm.
10 cm ≤ sn
10 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3) ^ 2S1 + ... + (1/3) ^ (N-1) S1
10 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3) ^ 2 + ... + (1/3) ^ (n-1)]
Nous pouvons reconnaître l'expression à l'intérieur des supports comme la somme d'une série géométrique avec le premier terme 1 et le rapport commun 1/3. La somme d'une série géométrique est donnée par:
SUM =A1 / (1 - R), où A1 est le premier terme et R est le rapport commun.
Branchage dans a1 =1 et r =1/3, nous obtenons:
Somme =1 / (1 - 1/3) =3/2
Donc,
10 cm ≤ S1 [3/2]
S1 ≥ (10 cm) * (2/3)
S1 ≥ 6,67 cm
Cela implique que le crabe éliminera sa coquille lorsqu'il atteindra une taille d'environ 6,67 cm.
Pour déterminer le nombre de coquilles hangar, nous devons trouver la valeur de n telle que Sn ≥ 6,67 cm.
6,67 cm ≤ S1 + (1/3) S1 + (1/3) ^ 2S1 + ... + (1/3) ^ (n-1) S1
6,67 cm ≤ s1 [1 + (1/3) + (1/3) ^ 2 + ... + (1/3) ^ (n-1)]
Puisque la somme de la série géométrique est de 3/2, nous avons:
6,67 cm ≤ S1 * (3/2)
S1 ≥ (6,67 cm) * (2/3)
S1 ≥ 4,45 cm
Cela signifie que le crabe éliminera sa coquille une fois que sa taille dépasse 4,45 cm.
Maintenant, nous devons déterminer le nombre d'étapes ou de moltes que le crabe subit avant que sa taille ne dépasse 4,45 cm.
En commençant par S1 =1 cm, nous pouvons calculer les étapes suivantes comme suit:
S2 =1 cm + (1/3) cm =4/3 cm
S3 =4/3 cm + (1/3) * 4/3 cm =7/3 cm
S4 =7/3 cm + (1/3) * 7/3 cm =10/3 cm
Nous pouvons voir que S4 est supérieur à 4,45 cm. Par conséquent, le crabe éliminera sa coquille pendant la transition de la troisième étape (S3) à la quatrième étape (S4).
Ainsi, le crabe aura perdu 3 coquilles (à l'exclusion de la coquille initiale) au moment où sa taille dépasse 10 cm.